\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{physics}
\usepackage{verbatim}
\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}
\usepackage{makecell}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\newcommand{\matrx}[1]
{
\ensuremath
{
	\left (
	\begin{matrix}
		#1
	\end{matrix}
	\right)
}
}

\begin{document}

	\section{$\nabla$}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.3 \linewidth]{nabla_pic}
		\caption{据说$\nabla$的名称源于竖琴（Harp）。（AI作图）}
		\label{fig:nablapic}
	\end{figure}
	
	
	对于场来说，有一类空间导数特别常用，我们使用$\nabla$(倒三角算符，读作nabla)来表示。
	以下认为场不含时，即标量场是$f=f(x,y,z)$，向量场是$\bvec f = \bvec f (x,y,z), \bvec f = (f_x,f_y,f_z)^T$
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{场的常用空间导数}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			名称 & 输入$\rightarrow$输出 & 定义 \\
			\hline
			梯度 Gradient $\grad f$ & 标量场 $\rightarrow$ 矢量场 & $\grad f = (\pdv{f}{x},\pdv{f}{y},\pdv{f}{z})^T$ \\
			\hline
			散度 Divergence $\div \bvec f$ & 矢量场$\rightarrow$标量场 &  $\div \bvec f = \pdv{f_x}{x} + \pdv{f_y}{y} + \pdv{f_z}{z} $ \\
			\hline
			旋度 Curl $\curl \bvec f$ & 矢量场$\rightarrow$矢量场 & 
			$
			\curl \bvec f = 
			\begin{vmatrix}
				\hat x & \hat y & \hat z \\
				\pdv{}{x} & \pdv{}{y} & \pdv{}{z} \\
				f_x & f_y & f_z
			\end{vmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
				\pdv{f_z}{y} - \pdv{f_y}{z} \\
				\pdv{f_x}{z} - \pdv{f_z}{x} \\
				\pdv{f_y}{x} - \pdv{f_x}{y} \\
			\end{pmatrix}
			$\\
			\hline
			Laplacian $\laplacian f$ & 标量场$\rightarrow$标量场 & 
			$
			\laplacian f = \div (\grad f)=  \pdv[2]{f}{x} + \pdv[2]{f}{y} + \pdv[2]{f}{z}
			$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	我们有时还会遇到一些更为复杂的算符：
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{场的常用空间导数2}
		\label{tab:my-table}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			算符 & 符号含义 & 定义 \\ \hline
			$\laplacian {\bvec f}$ &  $\bvec f$是矢量场，输出矢量场  &  
			$\laplacian \bvec f = 
			\begin{pmatrix}
				\pdv[2]{f_x}{x}+\pdv[2]{f_x}{y}+\pdv[2]{f_x}{z}\\
				\pdv[2]{f_y}{x}+\pdv[2]{f_y}{y}+\pdv[2]{f_y}{z}\\
				\pdv[2]{f_z}{x}+\pdv[2]{f_z}{y}+\pdv[2]{f_z}{z}
			\end{pmatrix}
			$  \\ \hline
			$(\bvec v \cdot \nabla) f$ &  $f$是标量场，$\bvec v$是矢量场，输出标量场  &  
			$
			(\bvec v \cdot \nabla) f = \pdv{f}{x} v_x +  \pdv{f}{y} v_y +  \pdv{f}{z} v_z
			$
			\\ \hline
			$(\bvec v \cdot \nabla) \bvec f$  &  $\bvec f, \bvec v$是矢量场，输出矢量场  
			& 
			$
			(\bvec v \cdot \nabla) \bvec f = 
			\begin{pmatrix}
				\pdv{f_x}{x}v_x+\pdv{f_x}{y}v_y+\pdv{f_x}{z}v_z\\
				\pdv{f_y}{x}v_x+\pdv{f_y}{y}v_y+\pdv{f_y}{z}v_z\\
				\pdv{f_z}{x}v_x+\pdv{f_z}{y}v_y+\pdv{f_z}{z}v_z\\
			\end{pmatrix}
			$
			\\ \hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	其中$(\bvec v \cdot \nabla) = v_x \pdv{}{x}+v_y \pdv{}{y}+v_z \pdv{}{z}$ （注意，这和散度不同）。
	上述算符作用在矢量场上时，相当于对每个分量分别运用算符。

	\newpage
	
	\section{一些定理}
	\subsection{梯度}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.3 \linewidth]{grad}
		\caption{标量场$f$与他的梯度$\grad f$示意图}
		\label{fig:grad}
	\end{figure}
	
	使用梯度矢量$\grad f = (\pdv{f}{x},\pdv{f}{y},\pdv{f}{z})^T$的语言，全微分（不含时）还可以写为
	\begin{equation}
		\dd f = (\grad f)^T (\dd \bvec r)
	\end{equation}
	其中 $\bvec r = (\dd x,\dd y,\dd z)^T$是增量。
	
	梯度矢量 $\grad f$有一个非常重要的性质：
	$\grad f$指向标量场$f$增加最快的方向，并且其大小等于该方向上的最大变化率；反过来说，$-\grad f$ 指向标量场$f$减少最快的方向。
	这个证明比较容易。观察上式，
	$$
	\dd f = (\grad f)^T (\dd \bvec r) = \abs{\grad f} \abs{\dd \bvec r} \cos \theta
	$$
	因此，若$\dd \bvec r$的大小不变，其导致的$\dd f$只和其与$\grad f$的夹角有关。
	容易推知，当$\dd \bvec r \parallel \grad f$时其夹角最小、$\dd f$最大。
	因此， $\grad f$是$f$改变最快的方向。
	
	\subsection{散度与旋度定理}
	散度定理：
	\begin{equation}
		\oint_A \bvec f \dd {\bvec A}  = \oint_A \bvec f \hat n \dd {A}
		= \int_V \div \bvec f \dd V
	\end{equation}
	散度定理告诉我们，对矢量场的闭合曲面积分，等于对他的散度在该闭合曲面围成的空间里的体积分。
	散度定理形式上将一个向量场面积分转换为标量场体积分。
	
	旋度定理：
	\begin{equation}
		\oint_C \bvec f \dd {\bvec l}
		= \int_A \curl \bvec f \dd {\bvec A}= \int_A (\curl \bvec f )\hat n \dd {A}
	\end{equation}
	旋度定理告诉我们，对矢量场的闭合曲线积分，等于对他的旋度在该闭合曲线围成的面上的面积分。
	
	散度和旋度定理非常有用，在哪里都能看见它们的踪影。
	\subsection{一些恒等式}
	“梯度无旋”
	\begin{equation}
		\curl (\grad f) = 0
	\end{equation}
	“旋度无散”
	\begin{equation}
		\div (\curl \bvec f) = 0
	\end{equation}
	可以使用定义直接证明这两个关系。
	更多的矢量算符恒等式可以参考 https://wuli.wiki/online/VopEq.html 与 https://wuli.wiki/online/VecAnl.html。
	
	比如说，在电动力学中，在静场情况下，电场$\bvec E$无旋（能量守恒的体现），那么我们可以为其定义一个标量电势（负号是符号习惯）。
	这就是“梯度无旋”的运用：
	\begin{equation}
		\curl \bvec E = 0 \Rightarrow \bvec E = -\grad \phi
	\end{equation}
	磁（感应强度）场$\bvec B$无散，那么我们可以为其定义一个向量磁势（磁矢势）。
	这就是“旋度无散”的运用：
	\begin{equation}
		\div \bvec B = 0 \Rightarrow \bvec B = \curl A
	\end{equation}
	
\end{document}